导数的定义与几何意义：从平均变化率到切线斜率

走路 100 米花了 20 秒，平均速度是 。但如果问第 8 秒那一瞬间的速度，就不能再拿整段路程除以整段时间了。做法是把时间间隔缩短：先看第 8 秒到第 9 秒，再看第 8 秒到第 8.1 秒，继续缩短。若这些平均速度逐渐靠近某个固定数，这个数就是瞬时速度。

导数也是同一个想法。函数 在 附近变化时，先用两点之间的平均变化率

描述「这一小段的斜率」。当 趋近于 0 时，如果这个比值有极限，就把这个极限叫作 在 点的导数。导数常被解释为函数输出对输入变化的敏感程度，也就是瞬时变化率；在图像上，它等于该点切线的斜率。1

设函数 在点 的某个邻域内有定义。如果极限

存在，就称 在 点可导，这个极限叫作 在 点的导数。OpenStax 的教材在引入导数时，也是从割线斜率过渡到切线斜率：割线经过 与 ，当第二个点逐渐靠近第一个点时，割线的极限位置就是切线。2

这里的 有两个要求。第一， 可以从右边趋近 0，也可以从左边趋近 0；第二， 本身不能等于 0，因为分母不能为 0。只有左右两边的差商都趋向同一个数，导数才存在。

中学里常把切线说成「只接触曲线一次的直线」。这句话对圆很好用，但对一般函数图像不够准确。现代微积分更关心切线的局部方向：在 处，切线通过 ，斜率为 。3

因此，求 的几何含义就是求曲线在点 处「最贴近曲线方向」的直线斜率。若 ，切线方程就是

注意，切线可以穿过曲线，也可以在别处再次相交。判断它是不是切线，关键看它在该点附近是否给出了曲线的局部方向，而不是看它和曲线总共交了几次。

按定义代入 ：

因为 ，所以

当 时，，所以

这说明抛物线 在点 处的切线斜率是 4。切线方程为

也就是 。

这张图只画了几个 的取值。它想表达的不是「把 代进去」，而是当 从左右两侧靠近 0 时，差商都靠近 4。

仍然看差商：

当 时，，所以差商等于 1；当 时，，所以差商等于 -1。

左右两边趋近的结果不同，极限不存在。因此 在 处不可导。图像上看，它在原点有一个尖角，没有唯一的切线方向。

导数建立在极限之上，所以可导一定连续。但反过来不成立：连续函数也可能不可导。 在 点连续，因为函数值和极限都等于 0；但它在 点不可导，因为左右斜率分别是 -1 和 1。

另一个容易错的地方是把 直接代成 0。定义里的 是「趋近」，不是「等于」。先化简差商，再取极限，才是定义法求导的基本动作。下一期进入基本求导公式和导数运算法则，很多计算会变快，但这些公式的根仍然是今天这个差商极限。